Tepki Spektrum Analizleri

1. Giriş ve Tanımlama

Response Spectrum (Tepki Spektrumu) analizleri bir yapının sabitlendiği noktalarına etkiyen frekansa bağlı ivme, hız ve deplasman yüklerine karşılık yapının maksimum tepkisinin incelendiği dinamik analiz türüdür. Bu analizler genelde rüzgar yükü, deprem, okyanus dalgalarının etkisi, jet ve roket motorları titreşimi gibi frekans uzayına indirgenebilen dinamik yüklemeleri içermektedir.

2. Matematiksel Model

Tepki Spektrumu; frekans uzayında çözüm yaptığı için yapının doğal frekanslarından ve mod şekillerinden yola çıkarak sonuca ulaşır. Bu analiz Modal analizi de içerdiğinden lineer (doğrusal) bir analizdir. Bunun için zamana bağlı genel hareket denklemi frekansa bağlı forma dönüştürülür. 

Sönümsüz Bir Sistem İçin;

Frekans Uzayı İçin;

dönüşümleri yapılabilir. Bu dönüşümler ile standart serbest titreşim denklemi elde edilir.

Her bir mod için maksimum tepki değeri aşağıdaki denklem ile hesaplanır.

Burada:

• S (ω, ζ): Tepki spektrumundan elde edilen maksimum yanıt değeri,

• ϕ: Yapının mod şekli,

• ω: Yapının doğal frekansı,

• ξ: Sönüm oranıdır.

3. Yüklemenin Uygulanışı

Tepki Spektrumu analizlerinde yükleme iki çeşit olabilir. Bunlar tüm sınır şartlarına eşzamanlı uygulanan tek bir yüklemenin olduğu SPRS (Single Point Response Spectrum) ve farklı sınır şartlarına farklı yüklemelerin uygulanabildiği MPRS (Multi Point Response Spectrum)’dur. Sismik ve şok yükleri genellikle SPRS olarak ele alınır.

4. Mod Kombinasyon Yöntemleri

Tepki Spektrumu analizinde her mod için hesaplanan yapı tepkilerinin toplam etkisini incelemek için birçok yöntem mevcuttur ve farklı durumlarda avantajlıdır.

4.1. ABS (Absolute Sum)

Mutlak Toplama metodu tüm modların aynı anda uygulandığı kabulü ile maksimum etkileri toplamaya dayanır. En konservatif ve ucuz metottur.

4.2  SRSS (Square Root of the Sum of Squares)

Yüklemedeki maksimum tepkilerin karelerinin toplamlarının karekökünün alınması ile elde edildiği yöntemdir. ABS’ye göre daha gerçekçi sonuçlar verse de modlar arası etkileşimi göz ardı eder ve yüksek frekanslarda gerçekten uzak sonuçlar verebilir. Hesaplama maliyeti çok yüksek değildir.

4.3 CQC (Complete Quadratic Combination)

CQC metodu modlar arasındaki etkileşimi bir korelasyon katsayısı () ile hesaplamaya dahil eden daha gerçekçi ve karmaşık bir yöntemdir. Bu sayede birbirine yakın doğal frekansları bulunan yapıların analizi için oldukça uygundur ve yüksek frekanslarda diğer yöntemlere göre daha doğru sonuçlar verirken maliyeti fazladır. Denklemi;

şeklindedir. Burada ρ korelasyon katsayısını ifade etmektedir. Modların frekans ve sönüm değerleri ile korelasyonu hesaplayan ve 0 (korele olmayan) ile 1 (korele) arasında bir değerdir.

4.4 NRL (Naval Resarch Laboratory)

Bu metot maksimum yanıtın mutlak değerini diğer modların karelerinin toplamının kareköküne ekleyerek sonuca ulaşır. Bu şekilde SRSS’e göre daha doğru sonuçlar vermektedir.

5. Yüklemenin Bölümleri

Bir Tepki Spektrumu analizinin yüklemesi farklı standartlardaki (ASCE 7-10, Eurocode vb.) verilerin yapıya uygulanması ile oluşturulur. Bu yüklemenin tipik örneği Şekil 1’de verilmiştir.

Bu veri iki frekansla tanımlanan 3 farklı bölgeden oluşmaktadır. Tanımlamada kullanılan birinci frekans değeri ivmenin (hız ya da deplasmanın) maksimum olduğu  değeridir (Grafikteki yeşil çizgiye karşılık gelen frekans değeri).  Diğer frekans değeri ise yüksek frekanslarda ivmenin sabitlendiği  değeridir (Grafikte kırmızı çizgiye karşılık gelen frekans değeri).  değerinin altındaki frekans değerleri düşük frekans,  ve  arası orta frekans,  üstü değerler ise yüksek frekans olarak adlandırılmaktadır.

Düşük frekans bölgesinde modlar genelde periyodiktir.

Yüksek frekans bölgesinde modlar birbirleri ile etkileşim içerisindedir ve korelasyon vardır.

Düşük frekanslarda birbirlerine yakın modların bulunmadığı senaryoda SRSS ya da NRL metotları kısa ve gerçekçi sonuçlar verirken yüksek frekanslarda veya birbirlerine yakın modların bulunduğu senaryoda CQC en doğru çözüm yöntemi olmaktadır.

6. Mod Korelasyonu

Mod korelasyonu, Modal analizden elde edilen modların frekanslarının birbirlerini etkileyip etkilemediğini kararlaştırmak ve buna göre mod kombinasyon yöntemlerinden doğru olanı seçmek için önemlidir. Burada sönümleme oranına bağlı olarak sıralı i ve j modları için hesaplama aşağıda verilmiştir.

şartı sağlanıyor ise modlar ilintilidir.

7. Kayıp Kütle Etkisi

Modal analiz sırasında kütle temsili yeterli düzeyde sağlanamazsa ZPA bölgesindeki dinamik tepki doğru bir şekilde yansıtılamayabilir. Bu durum, özellikle yüksek frekanslı modlar eksik hesaplandığında veya düşük modal katılım yüzdesiyle analiz yapıldığında ortaya çıkar.

Her model için toplam katılım faktörünü %100 doğrulukla hesaplamak her zaman mümkün olmayabilir. Eksik modal kütle nedeniyle kaybolan dinamik etkilerin telafi edilmesi amacıyla Kayıp Kütle Etkisi yöntemi uygulanır.

Bu yöntem toplam kütleden katılan kütlenin çıkarılmasıyla elde edilen kayıp kütlenin, ZPA ivmesi ile çarpılarak ortaya çıkan kuvvetin sisteme eklenmesiyle etkisinin dahil edilmesini içerir.

3. KAYNAKÇA

[1]. Iqbal, J., Tsang, H., Ahmad, M., Modal Analysis with Consideration of Missing Mass as per RG 1.92, Transactions, SMiRT-22, California, USA, 2013.

[2]. Kisa, M., Brandon, J., Topcu, M., Free vibration analysis of cracked beams by a combination of ®nite elements and component mode synthesis methods, Computers and Structures, Turkey, 1998.

[3]. Chopra, A. Dynamics of Structures (4th ed.). Pearson Higher Education, 2015.

[4]. Ravirprasad, S., Nayak, N., Dynamic Analysis and Verification of Structurally Optimized Nano-Satellite Systems, Jour of Aerospace Science and Technology, 2015

[5]. help.solidworks.com